Worin besteht der Unterschied?

Mit einem freien Dienstvertrag ist man trotzdem bei einer Firma angestellt und geht oft ganz normalen Tätigkeiten nach. Der Unterschied zu einem normalen Dienstvertrag ist, dass dich der Arbeitgeber viel leichter kündigen kann, keine Steuern für dich zahlt und du sonst absolut keine Ansprüche auf irgendwas hast (Urlaub, 13./14. Gehalt, Krankenstand, etc.).

Selbstständige haben dagegen ihr komplett eigenes Ding am Laufen, sind nirgendwo angestellt, sondern stellen z.B. Werkverträge oder Honorarnoten aus und können sich auch ihre Zeit frei einteilen bzw. richten sich da nur nach ihren Kunden/Auftraggebern und nicht nach irgendeiner Firma, die über ihnen ist.

"Laut verfolgen die Freiberufler keine gewerbliche Tätigkeit in dem Sinne, da sie ihre Leistungen im Rahmen ihres Unternehmens gegen Entgelt erbringen. Ich denke am besten lässt sich der Unterschied an Hand der Steuer sehen. Wenn man ein Gewerbe angemeldet hat, mit Gewerbeschein also, dann muss man auch irgendwann Gewerbesteuer zahlen (richtet sich nach dem Einkommen und fängt ab ??? 72.000 im Jahr an?)."

Ja, das ist so ziemlich genau die Zahl, wo das anfängt. 
Freiberufler müssen erst dann Steuern zahlen, wenn sie auch Gewinne erwirtschaften. Die Einkommensteuer muss auf den Gewinn gezahlt werden.

Man kann aber auch vieles von der Steuer absetzen, da ist es sehr wichtig, dass man sich vernünftig informiert: Arbeitsmittel
Mitgliedschaftsbeiträge bei Berufsverbänden
Aus- und Weiterbildungskosten bei einem Bezug zur Selbstständigkeit
Vorsorgeleistungen der privaten Alterssicherung
Krankenkassenbeiträge
Spenden
Arbeitszimmer

Gruß